QUELQUES SUJETS MAPLE

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Maple est actuellement enseigné dans pratiquement tous les premiers cycles des enseignements scientifiques (DEUG, classes préparatoires aux grandes écoles, ... ) et bien entendu, de très nombreux ouvrages - cours et exercices - sont consacrés à cet enseignement.

Je tiens simplement à faire figurer ici les sujets qui m'ont paru, à mon humble avis, les plus attrayants et motivants. J'utilise à dessein ces deux dernières épithètes pour bien souligner le critère essentiel que j'ai retenu dans mes choix, à savoir le point de vue de l'étudiant ! En effet, quoiqu'on en dise, un TP sur la méthode de Newton pour la recherche des solutions d'une équation, reste rébarbatif s'il ne s'accompagne pas d'une carotte quelconque, que ce soit un paradoxe numérique lié à certaines approximations instables ou l'apparition d'une image fractale comme j'en donne un exemple ci-dessous. C'est donc en ce sens que j'ai effectué ma sélection.

Je ne manquerai pas de faire figurer dans cette page tous les exemples qui me parviendront et qui iront dans cette direction. Contactez-moi ici ou !

Je fournis donc ici, les énoncés sous forme de fichier Word (ou .dvi) et les corrigés en Maple (le tout en fichier.zip), pour les sujets dont je suis l'auteur.
J'indique les références bibliographiques ou les liens Internet pour ceux qui ne sont pas de mon cru.

Enfin <nouveau>, je mets à disposition un polycopié sur l’utilisation de Maple, en tant que logiciel de calcul formel, de calculs mathématiques et de calcul numérique. Ce document fait référence à la version 7 de Maple, maintenant un peu ancienne, mais est aisément modifiable et adaptable aux versions actuelles. Chacun peut donc utiliser ce texte, à fin d’enseignement par exemple, et l’actualiser à loisir, pourvu qu’il fasse apparaître une mention du type « adapté du polycopié de P. Vollat, professeur de mathématiques à l’Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat ».

REMARQUE SUPPLEMENTAIRE

Maple est un logiciel à usages multiples :

1.     C'est d'abord (?) un logiciel de calcul formel, qui permet donc de manipuler des " formes normales " (rationnels, polynômes à coefficients rationnels, ... ) et d’effectuer avec elles de gros calculs, menés à terme de façon exacte (au sens de l’unicité de l’identification à 0).

Il existe bien entendu des logiciels de calcul formel plus performants que Maple, mais ils sont alors dédiés à des domaines ciblés (théorie des nombres, groupes, idéaux, ... )

2.     Maple est aussi un logiciel de " calculs mathématiques " surpuissant, de par sa souplesse d’utilisation d’une part et le volume impressionnant de ses bibliothèques d’autre part. Sont ainsi abordables, tous les calculs d’intégration, de développements asymptotiques ou en séries diverses, de résolutions d’équations différentielles, ...

Les calculs sont alors menés de façon formelle ou numérique.

3.     Maple dispose enfin d’un langage de programmation efficace et élégant.

Il est alors possible de réaliser l’implantation en Maple de n’importe quel algorithme, soit pour un résultat direct lors de travaux scientifiques, soit pour la mise en place de tests préalables aux développements d’applications les plus diverses (C++, tableurs, ... ).

L’aspect numéro 2 est actuellement largement (et presque exclusivement) développé dans les Classes Préparatoires.

L’accent sera plutôt mis ici sur les points 1 et 3 développés ci dessus.

Quoiqu’il en soit, il s'agit toujours de faire prendre conscience de la multiplicité de Maple, qui doit devenir un outil efficace dans de multiples circonstances : recherches de solutions numériques ou formelles de problèmes mathématisés (mis en équations), simulations de contraintes, développements de projets, analyse de données, ...

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Voici donc quelques références ou/et quelques fichiers téléchargeables :

- Bassin d'attraction d'un système dynamique

- Corps biquadratique

- Jeu de la vie

- Polynômes à coefficients dans {0,1}

- Bifurcation

- Pavages de Penrose

- Courbes de Bézier

- Spirale d'Ulam

- Géodésiques d'une surface

- Suites de Goodstein

- Droite des moindres carrés

- Tables de Laver et fonction d’Ackermann

- Quelques suites exotiques

- Entiers de Hamming

- Nombres de Carmichael

 Ainsi que <nouveau> le polycopié sur l’utilisation de Maple : PolyMaple.zip

 Bassins d'attraction du système dynamique discret associé à l'itération de Newton pour la recherche des racines de x3-1 = 0

 Dans ce TP, on commence classiquement par mettre en place l'itération de newton pour la recherche des racines de f(x) = 0 (f vérifiant certaines bonnes conditions) : un+1 = un - f(un)/f '(un) et on réalise des visualisations graphiques sur quelques exemples.

 Comme je le signalais plus haut, cet algorithme n'a en soi rien de palpitant !
Aussi, admet-on ensuite (à moins qu'on ne le démontre !) la généralisation du procédé à certaines fonctions d'une variable complexe satisfaisant à certaines hypothèses de régularité, comme c'est le cas de f(x) = x3-1 .
Mais l'équation x3-1 = 0 ayant 3 racines complexes, on se doute que la suite de Newton convergera vers l'une ou l'autre d'entre elles suivant la valeur de u0 .
On parcourt alors une région du plan complexe en la quadrillant de pas en pas et en lançant en chaque point l'itération Newton. On colore le point en rouge, bleu ou vert suivant que la suite de Newton converge vers l'une ou l'autre racine.
L'étudiant de première année découvre alors un résultat auquel il ne s'attendait pas et fait ainsi connaissance avec les objets fractaux :


 On pourra télécharger ici, un énoncé au format Word (x3-1.doc), un corrigé Maple (x3-1.mws) et une image (x3-1.jpg), le tout dans x3-1.zip.
Bien entendu, les possibilités de Maple (vitesse de calcul, encombrement mémoire) ne permettent pas une définition très poussée de l'image mais le résultat est néanmoins suffisant pour appréhender le phénomène.

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 Jeu de la vie

 Le célèbre automate cellulaire du mathématicien J. Conway fournit un bel exemple, simple mais didactique, de programmation Maple.

 Dans un premier temps, on met en place une programmation simpliste où l'on parcourt toutes les cases d'un domaine prédéfini et pour le quel on ne s'occupe pas des effets de bord.

 On améliore ensuite le programme en profitant des propriétés du type table de Maple, de façon à ce que le domaine affiché s'agrandisse ou rapetisse en fonction de l'évolution de la population.
Autre subtilité, toujours obtenue grâce aux propriétés des objets de type table, on ne parcourt que la partie du domaine contenant les individus vivants et leurs proches voisins.

 Une troisième version du programme inclut une gestion (simpliste) d'un fichier de populations.

 On trouvera ici un énoncé du TP au format Word (jeuvie.doc), quelques exemples de populations intéressantes (viegr.doc) issues de l'immense bestiaire créé au fil des ans (par les professionnels, les amateurs et ... les fan-clubs ! ), et les trois programmes Maple (jeuvie1.mws, jeuvie2.mws, jeuvie3.mws), le tout dans jeuvie.zip.

 On pourra consulter à propos du jeu de la vie, l'excellent article de Frédéric Neuville dans SVM n°13 et surtout télécharger le superbe shareware http://psoup.math.wisc.edu/Life32.html (sans comparaison évidemment, avec ce qu'on obtient en Maple !).

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 Bifurcation : un résultat édifiant à propos des suites récurrentes un+1 = f(un)

 Il s'agit du schéma de Feigenbaum bien connu, tout à fait visualisable avec Maple.
On considère la suite récurrente un+1 = f(un) avec f(x) = l x(1-x) (0<l<4) dont les valeurs d'adhérences se répartissent suivant l de l'étonnante façon que l'on sait.
Pour le visualiser, on porte en abscisse les valeurs de l puis, pour chaque valeur de l (de dl en dl ), on reporte en ordonnée les valeurs de un , pour n entre 20 et 50 par exemple, valeurs déjà assez importantes pour que les diverses valeurs d'adhérence soient approchées d'assez près :

 On trouvera ici un énoncé de TP au format Word (bifurc.doc), un corrigé Maple (bifurc.mws), le tout dans bifurc.zip.

 Je ne peux que signaler, à propos de cet exemple (et de celui du bassin d'attraction plus haut), l'excellent cours sur les objets fractaux et les systèmes dynamiques, entièrement ‘illustré’ en Maple, dû à Alain Schauber et dont les programmes en Maple sont accessibles à http://www.oci.uzh.ch/mirror/maple/frame03.htm .

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 Courbes de Bézier

 Un excellent sujet qui débute dans l'esprit du calcul formel, avec de belles manipulations de polynômes et qui se poursuit par des approximations numériques minutieuses demandant réflexion et finesse. Ce TP illustre bien les différentes utilisations possibles de Maple.

 On peut (si l’on y est autorisé) télécharger ce TP depuis le serveur ftp ftp://ftp.ac-dijon.fr/carnot1/maths/TP-Maple/, géré par Michel Quercia, professeur au lycée Carnot de Dijon.

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 Géodésiques d'une surface

 A la limite (extérieure !) des programmes des Classes Préparatoires mais tout à fait abordables par leurs élèves, moyennant quelques définitions supplémentaires et résultats (admis).

 Un moyen quelque peu ludique de manipuler l'arsenal de base d'analyse de Maple : dérivation, intégration, équations et systèmes différentiels (avec résolutions formelles et numériques), ...

 On trouvera tout ceci dans geodesiq.zip.

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 Droite des moindres carrés pour un nuage fini de points

 Sujet hyper-classique dont on trouvera deux approches :

v Réduction de la forme quadratique associée au nuage de points et de sa matrice puis détermination de la plus petite des valeurs propres et affichage des directions propres associées (dans un repère centré au centre de gravité préalablement calculé) :

v  Recherche de minimas par annulation de dérivées partielles.

 On trouvera un corrigé Maple dans MoindrCa.zip .

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 Quelques suites « exotiques »

 Il s’agit d’abord de l’étude de la transformation dite de Conway, qui à un mot    d’un alphabet  A contenant l’ensemble des entiers, associe le mot   .
(m1 , m2 , .. , mr  sont des entiers non nuls et si  m  est un entier non nul et  a  un élément de  A ,  am  représente le mot  aaa .. a    a  apparaît  m  fois)

Conway a démontré que la longueur du nième mot obtenu par application itérée n fois du procédé, suit une loi du type  C x ( L )n   C  dépend (assez peu) du mot initial et où  L  (constante de Conway) est la plus grande racine réelle du polynôme suivant (!) :

 
x71-x69-2x68-x67+2x66+2x65+x64-x63-x62-x61-x60-x59+2x58+5x57+3x56-2x55-10x54
-3x53-2x52+6x51+6x50+x49+9x48-3x47-7x46-8x45-8x44+10x43+6x42+8x41-5x40
-12x39+7x38-7x37+7x36+x35-3x34+10x33+x32-6x31-2x30-10x29-3x28+2x27+9x26
-3x25+14x24-8x23-7x21+9x20+3x19-4x18-10x17-7x16+12x15+7x14+2x13-12x12-4x11
-2x10+5x9+x7-7x6+7x5-4x4+12x3-6x2+3x-6

 Dans le même sujet, on étudie quelques suites (très !) récurrentes de Conway et de Conway-Hofstadter aux évolutions et comportements à la limite assez étonnants.

 Sujet et corrigé Maple dans SuitExot.zip .

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 Nombres de Carmichael

 Un nombre de Carmichael est un entier  N  non premier et vérifiant le petit théorème de Fermat, à savoir que pour tout entier  a  non multiple de  N , aN-1  est congru à  1  modulo  N .

 Il s’agit ici, d’utiliser différentes et subtiles caractérisations pour rechercher de très grands nombres de Carmichael.

 Ce TP est adapté d’une étude du livre « Maple, son bon usage en mathématiques » de Philippe Dumas et Xavier Gourdon [Springer, 1997] (pages 127 et 373). Enoncé et corrigé sont réunis dans Carmich.zip .

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 Un corps biquadratique

 Un bel exemple de calcul formel, avec de gros calculs dans l'extension de corps Q[j,Ö 3] et dans l'espace des polynômes construits sur ce corps. La puissance de Maple bien employé est ici assez spectaculaire.

 On trouvera l'énoncé et le corrigé de ce TP dans le livre "15 thèmes mathématiques" de Paul Donato, publié en 1997 chez Diderot.

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 Polynômes à coefficients dans {0,1}

 On étudie la densité (locale) des racines complexes des polynômes dont les coefficients sont des 0 ou des 1 , dans le domaine du plan complexe défini par |z| £ 1 et |z| / ( 1 - |z| ) £ | 2 - z | / | 1 - z | . Le résultat est surprenant et tout à fait abordable avec Maple.

 On trouvera l'énoncé et le corrigé de ce TP dans le livre "Mathématiques et Informatique ; quatorze problèmes corrigés pour l'enseignement supérieur" de François Morain et Jean-Louis Nicolas, publié en 1995 chez Vuibert.

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 Pavages apériodiques de Penrose

 Un très bel exemple de pavage apériodique du plan à l'aide de deux types de triangles.

 En voici une approche pragmatique quant à sa construction, développée pour Caml par Philippe Saunois, professeur en Sup au lycée Lamartinière à Lyon et dont je donne une version Male avec Penrose.zip.

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 Spirale d'Ulam

 Un thème abordé en exercice dans le livre de Gomez, Salvy et Zimmermann : "Calcul formel : mode d'emploi - Exemples en Maple" et dont le corrigé se trouve donc à http://www.loria.fr/~zimmerma/maple/

 Il s'agit d'une représentation originale dans le plan des entiers premiers où l'on met en évidence des alignements des plus mystérieux (pas tant que ça en fait, mais spectaculaires !). Un bel exemple de l'utilisation des fonctions arithmétiques simples de Maple.

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 Suites de Goodstein

 Ce sujet est tiré d’un article du numéro spécial de décembre 2000 « Les infinis » de « Pour la science » . Il s’agit de « L’infini est-il nécessaire ? », de Patrick Dehornoy, article qu’il faut avoir lu avant d’aborder le sujet.

 On construit là des suites d’entiers d’une croissance incroyablement rapide (voir également le sujet suivant) par simple bricolage de la décomposition en facteurs premiers du terme initial. C’est cette transformation qui est très intéressante à programmer avec Maple.

 Sujet et corrigé Maple dans Goodstein.zip .

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 Tables de Laver et fonction d’Ackermann

 Là encore, ce sujet est tiré d’un article du numéro spécial de décembre 2000 « Les infinis » de « Pour la science » . Il s’agit de « L’infini est un révélateur », toujours de Patrick Dehornoy, article qu’il faut lire avant d’aborder le sujet. On y apprend que la croissance très rapide vers l’infini de suites de certaines périodes apparaissant dans ces tables est liée à l’existence d’ensembles « extrêmement grands », dits ensembles hyperinfinis.

 Une croissance aussi importante est approchée par la fonction d’Ackermann, elle même tellement croissante qu’elle n’est pas récursive-primitive (voir le sujet précédent et mes pages sur les Machines de Turing).

 Sujet et corrigé Maple dans Laver.zip .

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 Entiers de Hamming

 Un entier de Hamming est un entier qui n’est pas divisible par d’autres entiers premiers que  2 , 3 ou 5 .

 On met alors en place des algorithmes du plus simple au plus sophistiqué pour rechercher des entiers de Hamming les plus « grands » possible. Les derniers algorithmes, extrêmement subtils, sont tirés d’un article de Michel Quercia de 1999.

 On trouvera l’article de Quercia, le sujet et le corrigé Maple dans Hamming.zip .

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A SUIVRE !

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