UN
PEU DE VRAIES MATHEMATIQUES
‘Les mathématiques que j’aime’,
on l’aura compris au vu des paragraphes de la page d’accueil, sont
essentiellement la logique mathématique,
devenue depuis maintenant presqu’un siècle, une branche à part entière de
l’activité mathématique. Mais bien entendu, l’Analyse - dans toutes ses
déclinaisons, les Groupes de Lie, … et bien d’autres sujets me passionnent
également.
Je me limiterai néanmoins ici aux seuls
sujets compréhensibles avec un niveau de licence ou plus précisément, avec une
capacité d’acquisition correspondant à celle qu’on acquiert communément après
les trois années de licence.
On trouvera ci-dessous quelques commentaires
et des polycopiés téléchargeables, sur certains sujets des plus classiques du
premier cycle des études de mathématiques.
Topologie des espaces métriques et des espaces vectoriels
normés : Topo.pdf
Un
petit polycopié de définitions, exemples et contre-exemples et théorèmes (non
démontrés) qu’il est souhaitable de connaître pour étudier confortablement
l’analyse jusqu’à la licence.
Réduction
des endomorphismes : ReduEndo.pdf
Comme
ci-dessus mais relativement à la réduction des endomorphismes.
Incluant les
notions de polynôme minimal, espaces caractéristiques, … et la réduction de
Jordan.
Une petite
remarque en passant. Pourquoi ne pas distribuer aux étudiants des petits
polycopiés, ne comprenant que définitions, exemples et contre-exemples et
théorèmes (non démontrés), imprimés sur les pages paires seulement d’un
document relié. Les pages impaires restant vierges et à disposition pour
retranscrire des remarques et commentaires ainsi éventuellement que des
démonstrations et applications, développés en cours par le professeur.
Quelqu’un a-t-il déjà pratiqué cette façon de procéder ? Si oui, je serais
très intéressé d’en avoir des échos !
Le travail qui suit est plus élaboré.
Familles
sommables : Familles_sommables.pdf
Dans le cadre
des espaces vectoriels normés pas forcément de dimension finie ni même
complets.
Des résultats
assez fins sont démontrés et les liens séries
convergentes / familles sommables sont mis en évidence.
Avec quelques
beaux exemples.
A venir, pour
compléter ce travail, la preuve d’un résultat établissant comment on peut
‘permuter’ les termes d’une série numérique semi-convergente, pour faire de
tout intervalle fermé [a,b], l’ensemble de ses valeurs d’adhérence (donc aussi
la faire converger vers n’importe quelle valeur en prenant a=b ou la faire
diverger avec a=b=+∞)
A SUIVRE !